September 1, 2012

Die Geometrie der Natur am Beispiel der Makroaufnahme eines „Romanesco“ Brokkolis. Über die natürliche Anordnung von Fraktalen und Mustern.

Mandelbrot, Computergrafik und Fraktale

Fraktale Strukturen als Darstellung natürlichen Wachstums

Fast überall, wo man in der Natur genauer hinschaut findet man Fraktale. Nehmen wir als einfaches Beispiel zunächst einen Baum.

Was sieht man, wenn man einen Baum ansieht? Einen Baumstamm, aus dem fast zufällig Äste abzweigen. Wenn man nichts über Fraktale weiß, mag einem ein Baum wie ein sehr zufälliges Objekt erscheinen. Ohne erkennbare Regeln und mit rein zufälligen Mustern.

Wenn man sich intensiver mit Fraktalen beschäftigt merkt man bei genauerem hinsehen, dass dies nicht der Fall ist. Wir sehen dann, dass ein Baum grundsätzlich aus einem Baum besteht, aus dem weitere Bäume abzweigen. Diesem einfachen Grundprinzip folgen alle Bäume und viele weitere Pflanzen.

Geometrie einer verästelten Baumsilhouette vor blauem Himmel, dessen Stamm sich nach außen immer weiter aufteilt und verästelt.

Sich verzweigende Silhouette eines Baumes

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„Wolken ...

sind keine Kugeln,
Berge keine Kegel,
Küstenlinien keine Kreise
und Rinde ist nicht glatt,
so wie auch der Blitz
nicht auf einer Geraden unterwegs ist“


Benoît Mandelbrot


Design von Mutter Natur

Das abgebildete sich verästelnde grüne Farnblatt vor weißem Hintergrund mit fraktaler Struktur.

Der Farn ist ein nahezu vollkommenes fraktales Objekt. Er besteht aus einem Stengel mit vielen weiteren Farnen links und rechts an dem Stengel. Dies tragen wiederrum kleinere Farne usw.

Typisches Beispiel aus der Biologie ist außerdem die fraktale Struktur bei der grünen Romanesco- Blumenkohlzüchtung. Auch der Blumenkohl hat einen fraktalen Aufbau, wobei man es diesem Kohl auf den ersten Blick häufig nicht ansieht.

Man kann also sagen, dass ein Wachstum einem Fraktal folgt, indem es kleinere Kopien von sich selbst produziert. Diese Kopien nennt man auch Satelitten. Unmittelbar am Rand eines Satelliten treten fast die gleichen Strukturen auf, wie an den entsprechenden Stellen des Originals.

Diese Situation kann mit der eines biologischen Organismus und seiner Gene verglichen werden. Jeder Satellit entspricht der Erbsubstanz einer Zelle, die den Bauplan für den kompletten Organismus enthält, während nach außen hin zunächst nur die Mutterstruktur sichtbar ist.

Eine blaustichige Berglandschaft in einiger Entfernung mit schneebedeckten Tälern vor blauem Himmel.

Berge

Weiße Wolkengebilde vor einem blauen Himmel.

Wolken

Makroaufnahme einer Schneeflocke, dessen feine Eiskristalle eine fraktale Struktur zeigt und sich nach außen hin immer weiter verästelt und verzweigt.

Schneeflocken

Bei genauerer Betrachtung findet man Fraktale faszinierenderweise z.B. in Küstenlinien, Bergen, Wolkengebilde, Blutkreislauf, Flusssysteme, Schneeflocken, Kristalle, die Verteilung von Sternen und viele mehr. Obwohl es sich dabei meistens nicht um einhundertprozentig genaue Kopien handelt hilft uns die Betrachung als Fraktale natürliche Wachstume besser zu verstehen, zu berechnen und darzustellen. Die Ähnlichkeiten müßen nicht perfekt übereinstimmen.

Nahaufnahme einer unbekannten grünen Pflanze, deren Zweige sich nach außen hin ausbreiten und weiter verästeln.

Pflanze

Satellitenbild von sich verästelnden Flussläufen im Amazonasgebiet in Brasilien in Südamerika.

Flusssysteme

Blutgefässe

Blutgefässe

Ein weißer Blitz mit verästelnden Adern zischt senkrecht vor dunklem Hintergrund zur Erde herunter. Im Vordergrund die Silhouette eines mehrstöckigen Wohnhauses.

Blitze

Eine Gruppe von Baumkronen ohne Laub vor einem lilafarbenen Sonnenuntergang.

Baumkronen

Die Sternverteilung in der Milchstraße, die hier auf schwarzem Hintergrund gezeigt wird.

Sternverteilung

Das Vermächtnis von Benoît Mandelbrot

Portrait von Benoît Mandelbrot, dem Mathematiker, der die fraktale Geometrie prägte und die Mandelbrot-Menge beschrieb.

Benoît Mandelbrot

Häufig werden Fraktale auch als Mandelbrot bezeichnet. Diese Bezeichnung spielt auf den bedeutenden Mathematiker Benoît Mandelbrot an, der den fraktalen Begriff prägte. Als Fraktal wird ein geometrisches Muster bezeichnet, dass eine gebrochene Dimensionalität und zudem einen hohen Grad von Selbstähnlichkeit aufweist.

Das ist beispielsweise der Fall, wenn ein Objekt aus mehreren verkleinerten Kopien seiner selbst besteht. Wie der Name andeutet, wird der klassische Begriff der euklidischen Geometrie erweitert, was sich auch in den gebrochenen und nicht natürlichen Dimensionen vieler Fraktale widerspiegelt. Neben Mandelbrot gehören Wacław Sierpiński und Gaston Maurice Julia zu den namensgebenden Mathematikern.

Im Gegensatz zu Formen der euklidischen Geometrie, die bei einer Vergrößerung oft flacher und damit einfacher werden (etwa ein Kreis), können bei Fraktalen immer komplexere und neue Details auftauchen.

Fraktale in der Computergrafik

Grafisch besonders reizvoll ist die Darstellung des Fraktal-Randes mit seinem Formenreichtum. Je stärker die Vergrößerung, desto komplexere Strukturen lassen sich dort beobachten. Mit geeigneten Computerprogrammen lässt sich der Rand wie mit einem Mikroskop betrachten. Die beiden einzigen künstlerischen Freiheiten, die dabei bestehen, sind die Wahl des Bildausschnittes sowie die Zuordnung von Farben.

Das Fraktale Design anhand einer Computergrafik berechnet. Eine Form reproduziert sich nach außen hin immer weiter verästelnd.

Fraktale Computergrafik

Das Universum im Proton links hinter der Nussschale

Ein weiteres Beispiel für ein computergerechnetes Fraktal in den Farben blau, lila, grün. Die Spiralformen des Fraktal wirken in sich verschlungen und bilden interessante Muster.

Fraktales Universum

Zur Untersuchung interessanter Strukturen sind oft Vergrößerungen erforderlich, die mit der üblichen Rechengenauigkeit gängiger Programmiersprachen nicht mehr darstellbar sind. Aufgrund von Rechenungenauigkeit und Rundungsfehlern sind diese komplexen Bilder nicht mehr darstellbar.

Spezielle Software arbeitet jedoch mit eigenen Arithmetik-Routinen für 100 oder noch weitaus mehr Nachkommastellen um gewisse Ausschnittsvergrößerungen darstellen zu können. Damit lassen sich Vergrößerungsfaktoren von 10100 und mehr berechnen. Das ist ein astronomischer Vergrößerungsfaktor.

Zum Vergleich: Der Vergrößerungsmaßstab von einem einzelnen Proton zu dem uns bekannten Teil des Universums beträgt 1040. Dieser Faktor übersteigt jede Vorstellungskraft.

Die Mandelbrot-Menge gilt als formenreichstes geometrisches Gebilde. Viele Designer, Filmemacher und Computerkünstler lassen sich von ihr inspirieren. Es gibt auch einige Modelabels, die Kleidung mit diesen komplexen und interessanten Strukturen produzieren.

Seit ich mich näher mit Fraktaler Geometrie befasst habe bin ich ziemlich davon begeistert, Fraktale in der Natur zu entdecken und somit etwas mehr über die Gestaltung innerhalb der Natur zu verstehen. Dieses theoretische Wissen lässt sich nebenbei bemerkt auch wunderbar bei digitalen Kompositionen in Photoshop einsetzen um wirklichkeitsgetreuere Kompositionen zu erzeugen. Geschweige von den Möglichkeiten, die sich erst in richtigen 3D-Umgebungen bieten.

Beispiel für ein computergerechnetes Fraktal in Lilafarbtönen.

Fraktale Computergrafik

Weitere Computergrafiken

Über den Autoren

Stephan Bender

Meine Aufgabe besteht darin Qualität zu visualisieren und die Kommunikation von Menschen und Marken zu verbessern, damit die Botschaften so geschärft werden, dass sie bei der Zielgruppe einen optimalen Eindruck hinterlassen kann.

  1. Pingback: Der krasse Nasse, schleimige Aale, schöne Strände, Seelöwen und teure Äpfel… die erste Woche Neuseeland als Happy Campers: Christchurch bis Stuck-in-Westport 14.3.-19.3.17 – Melly and Tom around the world
  2. Der Baum der Kindle App (im seit kurzem neuen Design) brachte mich auf die Idee Mandelbrot und Fraktale zu googeln. So bin ich hier gelandet. Danke für den Artikel

  3. In der Naturlehre der Taoisten wird nicht von Fraktalen gesprochen, sondern das Große im Kleinen und die vielen in den Wenigen werden als Gestaltungs- und Wirkungsmacht charakterisiert. Vgl.:F.Capra Das Tao der Physik
    An die Stelle des mythisch aufgeladenen Steines und Feldes vorwissenschaftlicher Alchemie und holistischer Weltananschaung ist die Wissenschaft mit ihren Modellen mechanischer, geometrischer, physikalischer Kausalität, Kybernetik und berechenbarer Wahrscheinlichkeiten getretten. Die Methoden der Zerteilung, Zergliederung, der Beschneidung, Beschießung, Beschleunigung,…,

  4. In der Natur gibt es den technologischen, den ästhetischen Schnitt nicht als Ordnungsprinzip. Das Runde, der fraktale Aufbau oder die Struktur kunstvoller Gebilde entsteht in geophysikalisch-klimatischen Periodien der Transformation. Flöze.Massive.Schichtungen. WEB & Kultur konstruiert – Natur vitalisiert sich in Fließgleichgewichten und organischen Ryhtmen.

  5. Die mathematisch erzeugten Fraktale bestehen aus lauter identischen,geometrischen Figuren , z.B Dreiecke, dagegen weicht die Natur immer von der Identität ab, da Leben immer Zufall und Notwendigkeit enthält.

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