Die Geometrie der Natur – Fraktale

Mandelbrot, Computergrafik und Fraktale

Fraktale Strukturen als Darstellung natürlichen Wachstums

Fast überall, wo man in der Natur genauer hinschaut findet man Fraktale. Nehmen wir als einfaches Beispiel zunächst einen Baum.

Was sieht man, wenn man einen Baum ansieht? Einen Baumstamm, aus dem fast zufällig Äste abzweigen. Wenn man nichts über Fraktale weiß, mag einem ein Baum wie ein sehr zufälliges Objekt erscheinen. Ohne erkennbare Regeln und mit rein zufälligen Mustern.

Wenn man sich intensiver mit Fraktalen beschäftigt merkt man bei genauerem hinsehen, dass dies nicht der Fall ist. Wir sehen dann, dass ein Baum grundsätzlich aus einem Baum besteht, aus dem weitere Bäume abzweigen. Diesem einfachen Grundprinzip folgen alle Bäume und viele weitere Pflanzen.

„Wolken sind keine Kugeln, Berge keine Kegel, Küstenlinien keine Kreise und Rinde ist nicht glatt, so wie auch der Blitz nicht auf einer Geraden unterwegs ist“

Benoît Mandelbrot

Design von Mutter Natur

Der Farn ist ein nahezu vollkommenes fraktales Objekt. Er besteht aus einem Stengel mit vielen weiteren Farnen links und rechts an dem Stengel. Dies tragen wiederrum kleinere Farne usw.

Typisches Beispiel aus der Biologie ist außerdem die fraktale Struktur bei der grünen Romanesco- Blumenkohlzüchtung. Auch der Blumenkohl hat einen fraktalen Aufbau, wobei man es diesem Kohl auf den ersten Blick häufig nicht ansieht.

Man kann also sagen, dass ein Wachstum einem Fraktal folgt, indem es kleinere Kopien von sich selbst produziert. Diese Kopien nennt man auch Satelitten. Unmittelbar am Rand eines Satelliten treten fast die gleichen Strukturen auf, wie an den entsprechenden Stellen des Originals. Diese Situation kann mit der eines biologischen Organismus und seiner Gene verglichen werden. Jeder Satellit entspricht der Erbsubstanz einer Zelle, die den Bauplan für den kompletten Organismus enthält, während nach außen hin zunächst nur die Mutterstruktur sichtbar ist.

Bei genauerer Betrachtung findet man Fraktale faszinierenderweise z.B. in Küstenlinien, Bergen, Wolkengebilde, Blutkreislauf, Flusssysteme, Schneeflocken, Kristalle, die Verteilung von Sternen und viele mehr. Obwohl es sich dabei meistens nicht um einhundertprozentig genaue Kopien handelt hilft uns die Betrachung als Fraktale natürliche Wachstume besser zu verstehen, zu berechnen und darzustellen. Die Ähnlichkeiten müßen nicht perfekt übereinstimmen.

Das Vermächtnis von Benoît Mandelbrot

Häufig werden Fraktale auch als Mandelbrot bezeichnet. Diese Bezeichnung spielt auf den bedeutenden Mathematiker Benoît Mandelbrot an, der den fraktalen Begriff prägte. Als Fraktal wird ein geometrisches Muster bezeichnet, dass eine gebrochene Dimensionalität und zudem einen hohen Grad von Selbstähnlichkeit aufweist.

Das ist beispielsweise der Fall, wenn ein Objekt aus mehreren verkleinerten Kopien seiner selbst besteht. Wie der Name andeutet, wird der klassische Begriff der euklidischen Geometrie erweitert, was sich auch in den gebrochenen und nicht natürlichen Dimensionen vieler Fraktale widerspiegelt. Neben Mandelbrot gehören Wacław Sierpiński und Gaston Maurice Julia zu den namensgebenden Mathematikern.

Im Gegensatz zu Formen der euklidischen Geometrie, die bei einer Vergrößerung oft flacher und damit einfacher werden (etwa ein Kreis), können bei Fraktalen immer komplexere und neue Details auftauchen.

Fraktale in der Computergrafik

Grafisch besonders reizvoll ist die Darstellung des Fraktal-Randes mit seinem Formenreichtum. Je stärker die Vergrößerung, desto komplexere Strukturen lassen sich dort beobachten. Mit geeigneten Computerprogrammen lässt sich der Rand wie mit einem Mikroskop betrachten. Die beiden einzigen künstlerischen Freiheiten, die dabei bestehen, sind die Wahl des Bildausschnittes sowie die Zuordnung von Farben.

Das Universum im Proton ganz links hinter der Nussschale

Zur Untersuchung interessanter Strukturen sind oft Vergrößerungen erforderlich, die mit der üblichen Rechengenauigkeit gängiger Programmiersprachen nicht mehr darstellbar sind. Aufgrund von Rechenungenauigkeit und Rundungsfehlern sind diese komplexen Bilder nicht mehr darstellbar.

Spezielle Software arbeitet jedoch mit eigenen Arithmetik-Routinen für 100 oder noch weitaus mehr Nachkommastellen um gewisse Ausschnittsvergrößerungen darstellen zu können. Damit lassen sich Vergrößerungsfaktoren von 10100 und mehr berechnen. Das ist ein astronomischer Vergrößerungsfaktor.

Zum Vergleich: Der Vergrößerungsmaßstab von einem einzelnen Proton zu dem uns bekannten Teil des Universums beträgt 1040. Dieser Faktor übersteigt jede Vorstellungskraft.

Die Mandelbrot-Menge gilt als formenreichstes geometrisches Gebilde. Viele Designer, Filmemacher und Computerkünstler lassen sich von ihr inspirieren. Es gibt auch einige Modelabels, die Kleidung mit diesen komplexen und interessanten Strukturen produzieren.

Seit ich mich näher mit Fraktaler Geometrie befasst habe bin ich ziemlich davon begeistert, Fraktale in der Natur zu entdecken und somit etwas mehr über die Gestaltung innerhalb der Natur zu verstehen. Dieses theoretische Wissen lässt sich nebenbei bemerkt auch wunderbar bei digitalen Kompositionen in Photoshop einsetzen um wirklichkeitsgetreuere Kompositionen zu erzeugen. Geschweige von den Möglichkeiten, die sich erst in richtigen 3D-Umgebungen bieten.